Question

17．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．O为AD、CE的交点，求证：OE=OD．

Answer 1

分析 过O作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M、N，由条件可知O在∠B的平分线上，结合条件可求得∠EOD=∠MON=120°，可得到∠EOM=∠NOD，可证明△EOM≌△DON，可证明OD=OE．

解答 证明：如图，过O作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M、N，

∵AD、CE为角平分线，
∴点O在∠B的平分线上，
∴OM=ON，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，
∴∠BAC=2∠OAC，∠BCA=2∠OCA，
∴∠OAC+∠OCA=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠EOD=120°，
在四边形BMON中，∠B=60°，∠BMO=∠BNO=90°，
∴∠MON=120°，
∴∠EOM=∠NOD，
在△EOM和△DON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOM=∠DDON}\\{OM=ON}\\{∠OME=∠OND}\end{array}\right.$，
∴△EOM≌△DON（ASA），
∴OD=OE．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及角平分线的性质，作两边的垂线构造条件证明三角形全等是解题的关键，注意角平分线性质、三角形四边形内角和定理的应用．