Question

18．如图，Rt△ABC中，∠OAB=90°，直角边OA在平面直角坐标系的x轴上，O为坐标原点，OA=2，AB=4，函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象分别与BO、BA交于C、D两点，且以B、C、D为顶点的三角形与△OAB相似，则k的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 如果以B、C、D为顶点的三角形与△OAB相似，则CD⊥BC，根据OA=2，AB=4，求得B（2，4），求出直线BC和AB的解析式，与反比例函数的解析式联立方程组，求出点C．D的坐标，求出直线CD的解析式，再根据两直线垂直斜率的积等于-1列方程即可求得结果．

解答 解：如果以B、C、D为顶点的三角形与△OAB相似，则CD⊥BC，
∵OA=2，AB=4，
∴B（2，4），
设直线OB的解析式为：y=kx，
则4=2k，
∴k=2，
∴直线OB的解析式为：y=2x，
∵AB⊥x轴，
∴直线AB的解析式为：x=2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$与$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2k}}{2}}\\{y=\sqrt{2k}}\end{array}\right.$与$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{k}{2}}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{\sqrt{2k}}{2}$，$\sqrt{2k}$），D（2，$\frac{k}{2}$），
∴直线CD的解析式为：y=$\frac{\sqrt{2k}-\frac{k}{2}}{\frac{\sqrt{2k}}{2}-2}$x+$\frac{2\sqrt{2k}-k}{\frac{\sqrt{2k}}{2}-2}$，
∵CD⊥OB，
∴$\frac{\sqrt{2k}-\frac{k}{2}}{\frac{\sqrt{2k}}{2}-2}$×2=-1，
解得：k=8或k=$\frac{1}{2}$．
当k=8时，反比例函数的图象经过点B（2，4），不符合题意，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，求图象的交点坐标，解方程组，知道根据两直线垂直斜率的积等于-1列方程是解题的关键．