Question

6．如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BC=$\frac{5}{2}$，CD=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，则sin∠AEB的值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 在△ABE与△DBC中，有∠ABE=∠DBC，∠BAE=∠BDC=90°，得到△ABE∽△DBC，可知∠AEB=∠DCB，在Rt△DCB中，先由勾股定理求出BD的值，再根据正弦的定义求出sin∠DCB，得出sin∠AEB的值．

解答 解：∵BC为半圆的直径，
∴∠BAE=∠BDC=90°．
∵D是弧AC的中点，
∴∠ABE=∠DBC．
∴△ABE∽△DBC．
在RT△DCB中，
∵∠BDC=90°，BC=$\frac{5}{2}$，CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BD=$\sqrt{5}$，
∴sin∠DCB=BD：BC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB．
∴sin∠AEB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判断，同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解三角函数的知识，本题是一道较难的题目．