Question

6．在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE=EF=FB．
（1）求证：四边形ACE是平行四边形；
（2）若AE⊥BD，AF=2$\sqrt{2}$，AB=4，求BF的长度．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于点O，由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，再证出OE=OF，即可证出四边形AFCE是平行四边形；
（2）由线段垂直平分线的性质得出AD=AF，再由勾股定理求出BD，即可得出BF．

解答 （1）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵DE=EF=FB，
∴OB-BF=OD-DE，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BD，DE=EF，
∴AD=AF=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ABD中，BD²=AD²+AB²，
∴BD═2$\sqrt{6}$，
∴BF=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．