Question

10．三角形ABC的面积为180，D为BC上最靠近B的4等分点，F为AD上最靠近D的3等分点，那么四边形DCEF的面积是105．

Answer 1

分析 过D作DH∥AC交BE于H，连接DE，得到△BDH∽△BCE，△DHF∽△AFE，由于D为BC上最靠近B的4等分点，F为AD上最靠近D的3等分点，于是得到$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{DF}{AF}$=$\frac{1}{2}$，求得AE=2DH，CE=4DH，推出S_△BCE=$\frac{2}{3}$S_△ABC=120，由于CD=$\frac{3}{4}$BC，于是得到S_△CDE=$\frac{3}{4}$S_△BCE=90，S_△ACD=$\frac{3}{4}$S_△ABC=135，根据AC=3AE，于是推出S_△ADE=$\frac{1}{3}$S_△ADC=45，通过AF=2DF，得到S_△EFD=$\frac{1}{3}$S_△ADE=15，即可得到结果．

解答 解：过D作DH∥AC交BE于H，连接DE，
∴△BDH∽△BCE，△DHF∽△AFE，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{DH}{CE}$，$\frac{DH}{AE}=\frac{DF}{AF}$，
∵D为BC上最靠近B的4等分点，F为AD上最靠近D的3等分点，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{DF}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=2DH，CE=4DH，
∴CE=2AE，
∴S_△BCE=$\frac{2}{3}$S_△ABC=120，
∵CD=$\frac{3}{4}$BC，
∴S_△CDE=$\frac{3}{4}$S_△BCE=90，S_△ACD=$\frac{3}{4}$S_△ABC=135，
∵AC=3AE，
∴S_△ADE=$\frac{1}{3}$S_△ADC=45，
∵AF=2DF，
∴S_△EFD=$\frac{1}{3}$S_△ADE=15，
∴四边形DCEF的面积是：△EFD的面积+△CDE的面积=15+90=105．
故答案为：105．

点评 本题考查的是面积及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质性质进行解答．