Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC．垂足为点D，∠B=60°，AD=3．求BC的长．

Answer 1

分析 先由AD⊥BC，垂足为点D，得出∠ADB=∠ADC=90°．在直角△ABD中求出∠BAD=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AB=2BD，利用勾股定理得出（2BD）²=BD²+3²，求出BD=$\sqrt{3}$；然后在直角△ACD中求出∠C=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AC=2AD=6，利用勾股定理得出DC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，那么BC=BD+DC=4$\sqrt{3}$．

解答 解：∵AD⊥BC，垂足为点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
∴AB=2BD．
∵AB²=BD²+AD²，
∴（2BD）²=BD²+3²，
∴BD=$\sqrt{3}$；
∵∠BAC=90°，∠B=60°，
∴∠C=30°，
∴AC=2AD=6，
∴DC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴BC=BD+DC=$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分别求出BD与DC的长是解题的关键．