题目内容
14．
如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=$\sqrt{6}$，下列结论：①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为$\sqrt{3}$；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB=1+$\sqrt{2}$
⑤S正方形ABCD=5+2$\sqrt{2}$．
其中正确的序号是（ ）
| A． | ①②③ | B． | ①③⑤ | C． | ②③④ | D． | ①②④ |
分析 ①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．
解答 解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
在△APD和△AEB中
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AE}\\{∠PAD=∠EAB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$
∴△APD≌△AEB（SAS）（故①正确）；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED（故③正确）；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE=$\sqrt{B{P}^{2}-P{E}^{2}}$=2，
∴BF=EF=$\sqrt{2}$（故②不正确）；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=$\sqrt{2}$，
又∵PB=$\sqrt{6}$，
∴BE=2，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=2，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=$\frac{1}{2}$S正方形ABCD-$\frac{1}{2}$×DP×BE=$\frac{1}{2}$×（2+3+2$\sqrt{2}$）-$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$．（故④不正确）．
⑤∵EF=BF=$\sqrt{2}$，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=3+2$\sqrt{2}$+2=5+2$\sqrt{2}$，
∴S正方形ABCD=AB2=5+2$\sqrt{2}$（故⑤正确）；
故选：B．
点评 本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，综合性比较强，得出△APD≌△AEB，进而结合全等三角形的性质分析是解题关键．
如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AB上一点，∠CDE=90°，且CD=DE，DE交BC于点F．若∠BCD=30°，AB=4$\sqrt{3}$，则DF的长为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止．设移动的时间为t秒．
如图1所示的是一种置于桌面上的简易台灯，将其结构简化成图2，灯杆AB与CD交于点O（点O固定），灯罩连杆CE始终保持与AB平行，灯罩下方FG处于水平位置，测得OC=20cm，∠COB=70°，∠F=40°，EF=EG，点G到OB的距离为12cm．
某天小明骑自行车从家出发去学校上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，设小明出发后所用时间为x（分钟），离家的距离为y（米），y与x的函数的大致图象如图所示，下列说法错误的是（ ）| A． | 家到学校的距离是2000米 | |
| B． | 修车耽误的时间是5分钟 | |
| C． | 修车后自行车的速度是每分钟200米 | |
| D． | 修车前比修车后速度快 |
| A． | 56 | B． | 34 | C． | 28 | D． | 14 |
如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A1处，问梯子底部B将外移多少米？