Question

8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AB上一点，∠CDE=90°，且CD=DE，DE交BC于点F．若∠BCD=30°，AB=4$\sqrt{3}$，则DF的长为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由DC=DE，想到构造全等三角形，故作DN⊥AC于N，EH⊥BC垂足为H，ND与EH交于点M，只要证明△CDN≌△DEM得DN=EM，CN=DM，设DF=a，求出相应的线段，列出关于a的方程即可．

解答 解；如图作DN⊥AC于N，EH⊥BC垂足为H，ND与EH交于点M．设DF=a．
∵∠DCF=30°，∠CDF=90°，
∴CD=$\sqrt{3}$a，
在RT△CDN中，∵∠DCN=30°，CD=$\sqrt{3}$a，
∴CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，ND=$\frac{3}{2}$a，
∵∠CDN+∠EDM=90°，∠NCD+∠CDN=90°，
∴∠NCD=∠EDM，
在△CDN和△DEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NCD=∠EDM}\\{∠CND=∠EMD=90°}\\{CD=ED}\end{array}\right.$，
∴△CDN≌△DEM，
∴DM=CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，EM=ND=$\frac{3}{2}$a，
∵∠N=∠NCH=∠M=90°，
∴四边形CNMH是矩形，
∴MH=CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CH=MN$\frac{3}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∵BC=AC，∠ACB=90°，AB=4$\sqrt{3}$
∴∠B=45°，BC=2$\sqrt{6}$，
∴∠HEB=∠B=45°，
∴EH=HB=EM-HM=$\frac{3}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴$\frac{3}{2}a$+$\frac{\sqrt{3}}{2}a$+$\frac{3}{2}a$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=2$\sqrt{6}$，
∴a=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考填空题的压轴题．