Question

19．如图1所示的是一种置于桌面上的简易台灯，将其结构简化成图2，灯杆AB与CD交于点O（点O固定），灯罩连杆CE始终保持与AB平行，灯罩下方FG处于水平位置，测得OC=20cm，∠COB=70°，∠F=40°，EF=EG，点G到OB的距离为12cm．
（1）求∠CEG的度数．
（2）求灯罩的宽度（FG的长；结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．
（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，sin70°≈0.940，cos70°≈0.342）

Answer 1

分析 （1）由EF=EG可知∠G=∠F=40°，由三角形的内角和为180°可求出∠FEG的大小，根据已知条件可得知∠CEF=∠CEG，由∠CEF+∠FEG+∠GEC为周角可得出结论；
（2）延长FG交AB于点N，过点E作EM⊥AB于点M，延长CE交FG于点H，找出四边形CHNM为长方形，在Rt△CMO中由三角函数值求出CM的长度，再结合点G到OB的距离为12cm可求出HG的长度，由△EFG为等腰三角形可得知FG=2HG，从而得出结论．

解答 解：（1）∵EF=EG，∠F=40°，
∴∠G=40°，∠FEG=180°-∠F-∠G=100°，
∵灯罩连杆CE始终保持与AB平行，灯罩下方FG处于水平位置，
∴∠CEG=∠CEF=$\frac{360°-∠FEG}{2}$=130°．
（2）延长FG交AB于点N，过点E作EM⊥AB于点M，延长CE交FG于点H，如图所示．

∵CE∥AB，FG处于水平位置，EM⊥AB，
∴四边形CHNM为长方形，CH⊥FG，
∴CM=HN．
在Rt△OMC中，OC=20cm，∠COM=70°，∠OMC=90°，
∴CM=OC•sin∠COM≈20×0.940=18.8（cm），
∵GN=12cm，HN=CM，
∴HG=CM-GN=6.8（cm）．
∵EF=EG，CH⊥FG，
∴FH=HG=$\frac{1}{2}$FG，
∴FG=2×6.8=13.6（cm）．
答：灯罩的宽度为13.6cm．

点评 本题考查了长方形的判定及性质、解直角三角形以及等腰三角形的性质，解题的关键：（1）求出∠FEG的度数；（2）在直角△CMO中求出CM的长度．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）稍显复杂，解决该题型题目时，需要借助直角三角形及角的三角函数值来求值．