Question

2．已知：如图．BD=BC=2AC，∠DBC=∠ACB，CD交线段AB于点E．
（1）如图①，当∠ACB=90°时．則线段DE、CE之间的数量关系为DE=2CE；
（2）如图②，当∠ACB=120°时．试探究DE与CE之间的数量关系，并说明现由；
（3）如明③，在（2）的条件下，点F是边BC的中点，连接DF，DF与AB交于点G，试探究DG与FG之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）易证△DEB∽△CEA，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题；
（2）过点B作BH⊥DC于H，如图2．根据等腰三角形的性质可得∠D=∠BCD=30°，DH=CH，从而可得BH=AC，∠BHE=∠ACE，进而可得△BHE≌△ACE，则有HE=CE，即可证到DE=3EC；
（3）延长DF到点N，使得FN=DF，连接NB、NC，如图3，易证四边形DCNB是平行四边形，从而可得DC∥BN，DC=BN，即可得到△DGE∽△NGB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DG与NG的比值，继而求得答案．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠DBC=∠ACB，
∴∠DBC=90°，
∴∠DBC+∠ACB=180°，
∴DB∥AC，
∴△DEB∽△CEA，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{DB}{CA}$．
∵BD=BC=2AC，
∴DE=2CE；
故答案为：DE=2CE；

（2）猜想：DE=3CE．
理由：过点B作BH⊥DC于H，如图2．
又∵BD=BC，∠DBC=∠ACB=120°，
∴∠D=∠BCD=30°，DH=CH，
∴DB=2BH，∠ACE=90°，
∴BH=AC，∠BHE=∠ACE．
在△BHE和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHE=∠ACE}\\{∠BEH=∠AEC}\\{BH=AC}\end{array}\right.$，
∴△BHE≌△ACE，
∴HE=CE，
∴DH=HC=2EC，
∴DE=DH+HE=2EC+EC=3EC；

（3）延长DF到点N，使得FN=DF，连接NB、NC，如图3，
∵BF=CF，FN=DF，
∴四边形DCNB是平行四边形，
∴DC∥BN，DC=BN，
∴△DGE∽△NGB，$\frac{DE}{BN}$=$\frac{3EC}{4EC}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DG}{NG}$=$\frac{DE}{NB}$=$\frac{3}{4}$．
设DG=3k，则有NG=4k，DN=7k，
∴DF=$\frac{1}{2}$DN=$\frac{7k}{2}$，
∴GF=DF-DG=$\frac{7k}{2}$-3k=$\frac{1}{2}$k，
∴DG=6GF．

点评 此题属于相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．