题目内容
5．
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止．设移动的时间为t秒．（1）当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；
（2）求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（3）在P，Q移动过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值．
分析 （1）图1中，作PD⊥BC于D，利用三角形中位线定理即可求得PD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解．
（2）图1中，作QE⊥PC于点E，利用Rt△QEC∽Rt△ABC求出QE即可．
（3）三种情况进行讨论①PC=QC ②PQ=QC ③PC=PQ，分别列出方程即可解决．
解答 解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米
由题意得：AP=2t，则CQ=t，则PC=10-2t．
（1）图1中，作PD⊥BC于D，
∵t=2.5秒时，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米，
∴PA=PC，
∵∠PDC=∠B=90°，
∴PD∥AB，
∴PD=$\frac{1}{2}$AB=3米，∴S=$\frac{1}{2}$•QC•PD=3.75平方米；
（2）图1中，作QE⊥PC于点E，
∴∠C=∠C，∠QEC=∠B=90°
∴Rt△QEC∽Rt△ABC，
∴$\frac{QE}{QC}$=$\frac{AB}{AC}$，
解得：QE=$\frac{3}{5}t$，
∴S=$\frac{1}{2}$•PC•QE=$\frac{1}{2}$•（10-2t）•$\frac{3}{5}t$=-$\frac{3}{5}$t2+3t（0＜t＜5）
（3）∵△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
当PC=QC时，PC=10-2t，QC=t，即10-2t=t，解得t=$\frac{10}{3}$秒；
当PQ=CQ时，如图1，过点Q作QE⊥AC，则CE=$\frac{10-2t}{2}$=5-t，CQ=t，
由△CEQ∽△CBA，得$\frac{CE}{BC}=\frac{QC}{AC}$，即$\frac{5-t}{8}=\frac{t}{10}$，解得t=$\frac{25}{9}$秒；
当PC=PQ时，如图2，过点P作PE⊥BC，则CE=$\frac{t}{2}$，PC=10-2t，
由△PCE∽△ACB，故得$\frac{CE}{BC}$=$\frac{PC}{AC}$，即$\frac{\frac{t}{2}}{8}=\frac{10-2t}{10}$，解得t=$\frac{80}{21}$秒
所以当t=$\frac{10}{3}$秒（此时PC=QC），$\frac{25}{9}$秒（此时PQ=QC），或$\frac{80}{21}$秒（此时PQ=PC）△CPQ为等腰三角形；
点评 本题主要考查了相似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、利用相似三角形的性质是解题的关键，学会转化的思想，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．
| A． | a3•a3=a9 | B． | （a3）2=a5 | C． | （2ab2）3=6a3b6 | D． | （-a）7÷（-a）2=-a5 |
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P从B点开始沿边BC向点C以4cm/s的速度运动，同时动点Q从C点开始沿边CD向点D以1cm/s的速度运动，当其中一个到达终点时，另一个也随之停止运动．
如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=$\sqrt{6}$，下列结论：
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AC边向点C以1cm/s的速度运动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB方向向点B以2cm/s的速度运动，在点B停止．如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒，△PCQ的面积是8cm2？