Question

2．已知△OAC中，∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过直角顶点A，并与直角边AC交于点B，则B点的坐标为（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 作AE⊥OC，BF⊥OC，易证得△BFC∽△AEC，得出$\frac{BF}{AE}$=$\frac{FC}{EC}$，解直角三角形求得OE=1，AE=$\sqrt{3}$，OC=4，即可求得A的坐标，从而求得反比例函数的解析式，设B（m，$\frac{\sqrt{3}}{m}$），表示出BF=$\frac{\sqrt{3}}{m}$，FC=4-m，EC=3，得到$\frac{\frac{\sqrt{3}}{m}}{\sqrt{3}}$=$\frac{4-m}{3}$，解方程即可求得m的值，进而得出B的坐标．

解答 解：作AE⊥OC，BF⊥OC，
∴AE∥BF，
∴△BFC∽△AEC，
∴$\frac{BF}{AE}$=$\frac{FC}{EC}$，
∵△OAC中，∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，
∴OE=1，AE=$\sqrt{3}$，OC=4，
∴A（1，$\sqrt{3}$），
∴k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，
设B（m，$\frac{\sqrt{3}}{m}$），
∴OF=m，BF=$\frac{\sqrt{3}}{m}$，
∴FC=4-m，EC=4-1=3，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{m}}{\sqrt{3}}$=$\frac{4-m}{3}$，
解得m=1或m=3，
∴B（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
故答案为（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，解直角三角形以及三角形相似的判定和性质，解直角三角形求得A的坐标是解题的关键．