Question

7．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：△OBD≌△OED；
（2）填空：①当∠BAC=90度时，CA是⊙O的切线；
②当∠BAC=60度时，四边形OBDE是菱形．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，可证得AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，于是得到BD=ED，根据“SSS“定理即可证得结论；
（2）①当∠BAC=90°时，由切线的判定定理即可证得CA是⊙O的切线，
②当∠BAC=60度时，得到△OBD是等边三角形，即OB=OD=BD，由（1）得：BD=ED，于是有OB=BD=DE=OE，由菱形的定义得到四边形OBDE是菱形．

解答 （1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{ED}$．
∴BD=ED，在△OBD和△OED中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OE}\\{OD=OE}\\{BE=ED}\end{array}\right.$，
∴△OBD≌△OED（SSS）；

（2）①当∠BAC=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴CA是⊙O的切线，
故答案为：90；
②当∠BAC=60度时，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，即OB=OD=BD，
由（1）得：BD=ED，
∴OB=BD=DE，
∵OE=OB，
∴OB=BD=DE=OE，
∴四边形OBDE是菱形，
故答案为：60．

点评 本题主要考查了圆周角的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定定理，菱形的判定定理，正确作出辅助线，证得BD=ED是解题的关键．