Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一个动点，记△PAC的面积为S．
①当点P与抛物线顶点D重合时，求△PAC的面积S；
②若点P位于第二象限，试求△PAC面积S的最大值及此时点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PN的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据余角的性质，可得∠MAO=∠DMN，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．

解答 解：（1）将A、B、C点的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3；
（2）①如图1，
y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，即D点坐标为（-1，4），
AC的解析式为y=x+3，当x=-1时，y=2，即N点坐标为（-1，2），
ND=4-2=2．
S_△ADC=$\frac{1}{2}$ND•OA=$\frac{1}{2}$×2×3=3；   
②如图2，
由上题可知直线AC的解析式是：y=x+3
设P点的坐标为（x，-x²-2x+3），则点N的坐标为（x，x+3）
∴PN=PE-NE=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x
∵S_△APC=S_△ANP+S_△CNP
∴S=$\frac{1}{2}$PN•OA=$\frac{1}{2}$×3（-x²-3x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$ 
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，S有最大值$\frac{27}{8}$，此时点P的坐标（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）如图3，
由△ADM是等腰直角三角形，得
AM=DM，∠AMD=90°，
由∠MAO+∠AMO=90°，∠AMO+∠DMN=90°，
∴∠MAO=∠DMN．
在△MAO和△DMN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MAO=∠DMN}\\{∠AOM=∠MND}\\{AM=DM}\end{array}\right.$，
∴△MAO≌△DMN（AAS），
∴OM=DN=1，
∴M（0，1）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用面积的和差得出二次函数是解题关键；利用全等三角形的判定与性质得出OM=DN是解题关键．