Question

13．如图，在长方形ABCD中，把△BCD沿对角线BD折叠得到△BED，线段BE与AD相交于点P，若AB=2，BC=4．
（1）BD=$\sqrt{20}$（或$2\sqrt{5}$）；
（2）点P到BD的距离是$\frac{5}{{\sqrt{20}}}$（或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理直接得出；
（2）设AP=x，证出△ABP≌△EDP，可知EP=x，PD=8-x，根据翻折不变性，可知ED=DC=AB=2，然后在Rt△PED中，利用勾股定理求出x，再由三角形的面积即可求出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠C=90°，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故答案为2$\sqrt{5}$；

（2）在△APB与△DEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠EPD}\\{∠A=∠E=90°}\\{AB=ED}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△DEP，
∴AP=EP，
设AP=x，可知EP=x，PD=4-x，
∴在Rt△PED中，
x²+2²=（4-x）²，
解得x=$\frac{3}{2}$．
即AP=$\frac{3}{2}$，
∴PD=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴△BDP的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$•点P到BD的距离，
∴点P到BD的距离=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理的应用，在△ADP中利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．