题目内容

2．阅读下面材料：
小骏遇到这样一个问题：画一个和已知矩形ABCD面积相等的正方形．小骏发现：延长AD到E，使得DE=CD，以AE为直径作半圆，过点D作AE的垂线，交半圆于点F，以DF为边作正方形DFGH，则正方形DFGH即为所求．
请回答：AD，CD和DF的数量关系为DF2=AD•CD．
参考小骏思考问题的方法，解决问题：
画一个和已知?ABCD面积相等的正方形，并写出画图的简要步骤．

分析 先根据圆周角定理得到∠AFE=90°，再证明Rt△AFD∽Rt△FED，则利用相似比可得DF：DE=AD：DF，然后根据比例性质得DF2=AD•CD；
解决问题：过点A作AM⊥BC于点M，则平行四边形的面积为AM与AD的乘积，然后仿照题目的方法画图．

解答 解：∵AE为直径，
∴∠AFE=90°，即∠AFD+∠DFE=90°，
而∠DFE+∠E=90°，
∴∠E=∠AFD，
∴Rt△AFD∽Rt△FED，
∴DF：DE=AD：DF，
∴DF2=AD•CD；
故答案为DF2=AD•CD；
解决问题：
过点A作AM⊥BC于点M，延长AD到E，使得DE=AM，以AE为直径作半圆，过点D作AE垂线，交半圆于点F，以DF为边作正方形DFGH，正方形DFGH即为所求，如图．

点评 本题考查了作与-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决问题的关键是利用相似比得到DF为AD和DE的比例中项．

练习册系列答案
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