Question

18．如图，顶点为（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线解析式及A、B两点坐标；
（2）在抛物线对称轴上有一点P，使P到A、C两点的距离和最短，求点P坐标；
（3）若点Q为x轴上任意一点，在抛物线上是否存在点R，使以A、C、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出R点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由顶点为（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），可设抛物线解析式为：y=a（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，然后由点C（0，2），求得抛物线的解析式；继而求得A、B两点坐标；
（2）易得连接BC交对称轴与点P，就是到A、C两点的距离和最短的P点，然后求得直线BC的解析式，继而求得答案；
（3）分别从当CR∥AQ与AC∥QR，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x-h）²+k，
∵抛物线顶点为（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$），
∴抛物线解析式为：y=a（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵抛物线与y轴交于点C（0，2）
∴2=a（0-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴a=-1
∴y=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$=-x²+x+2；
当y=0时，即：-x²+x+2=0，
 解得：x₁=-1，x₂=2，
∴A（-1，0），B （2，0）；

（2）∵抛物线顶点为（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）
∴对称轴是直线x=$\frac{1}{2}$，
∵点A、B关于对称轴x=$\frac{1}{2}$对称，
∴连接BC交对称轴与点P，就是到A、C两点的距离和最短的P点，
设直线BC解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=2k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x+2，
当x=$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{3}{2}$，
∴点P坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（3）如图2，当CR∥AQ时，R₁的坐标为（1，2）；
如图3，若AC∥QR，则R的纵坐标为：-2，
∴-x²+x+2=-2，
解得：x=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，
∴R₂的坐标为（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，-2）；R₃的坐标为（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，-2）；
综上所述：R点坐标为：（1，2），（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，-2），（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，-2）．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、线段和最短问题以及平行四边形的性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．