Question

1．已知△ABC，将边AC绕点A顺时旋转60°得到AD，将AB绕点A逆时针旋转60°得到AE连接CD，CE，且点B在CD上
（1）求证：CE=BD；
（2）求证：∠AFE=∠ABD；
（3）若AC=2，求△ECB的周长最小值．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠AFE=120°-∠1，∠ABD═120°-∠3，由于∠1=∠3，于是得到∠AFE=∠ABD；
（3）根据等边三角形的性质得到EB=AB，由于CE=BD，于是得到△ECB的周长=EB+BC+EC=AB+BC+BD=AB+CD=AB+AC=AB+2，当AB最小时，△ECB的周长最小，当AB⊥CD时，AB最小，即可得到结论．

解答 （1）证明：在△AEC与△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠1=∠3}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△ABD，
∴CE=BD；

（2）证明：∵∠AFE=180°-∠1-∠4=180°-∠1-60°=120°-∠1，
∠ABD=180°-∠3-∠D=180°-∠3-60°=120°-∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠AFE=∠ABD；

（3）解：∵△AEB是等边三角形，
∴EB=AB，
∵CE=BD，
∴△ECB的周长=EB+BC+EC=AB+BC+BD=AB+CD=AB+AC=AB+2，
∴当AB最小时，△ECB的周长最小，
当AB⊥CD时，AB最小，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴ECB的周长最小值=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．