Question

3．某公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，连喷头在内柱高为1m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线形路径落下，如图①所示，已知在图②中，抛物线的最高点M距离柱子OA为1m，距离地面OB为2m．
（1）求图②中抛物线的函数表达式（不必求x的取值范围）．
（2）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内（精确到0.01m）？

Answer 1

分析 （1）根据题意可设解析式为顶点式形式，由A（0，1）、M（1，2）两点坐标求解析式；
（2）求水池半径即时求当y=0时x的值．

解答 解：（1）设这条抛物线解析式为y=a（x-h）²+k
由题意知：顶点M为（1，2），A为（0，1）
∴k=2，1=a（0-1）²+2，
解得：a=-1．
所以这条抛物线的解析式为y=-（x-1）²+2．

（2）令y=0，则0=-（x-1）²+2，
解得x₁≈2.41，x₂≈-0.41（舍）．
答：若不计其它因素，水池的半径至少2.41米，才能使喷出的水流不至于落在池外．

点评 本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题求二次函数，再运用二次函数求最大值．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．