Question

5．已知关于x的一元二次方程x²-2（m+2）x+m²+1=0，有两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程两根分别为x₁，x₂，且满足|x₁|+|x₂|=|x₁x₂|-5，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围；
（2）由韦达定理可得x₁+x₂=2m+4、x₁x₂=m²+1，结合m的范围可判断x₁＞0、x₂＞0，继而化简|x₁|+|x₂|=|x₁x₂|-5，代入可得关于m的一元二次方程，解方程根据m的范围取舍可得．

解答 解：（1）根据题意，△=4（m+2）²-4（m²+1）≥0，即16m+12≥0，
解得：m≥-$\frac{3}{4}$；
（2）由韦达定理知，x₁+x₂=2（m+2）=2m+4，x₁x₂=m²+1，
∵m≥-$\frac{3}{4}$，
∴x₁+x₂=2m+4≥$\frac{5}{2}$＞0，x₁x₂=m²+1＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
则|x₁|+|x₂|=|x₁x₂|-5可化为x₁+x₂=x₁x₂-5，
即2m+4=m²+1-5，
整理，得：m²-2m-8=0，
解得：m=-2或m=4，
∵m=-2＜-$\frac{3}{4}$，舍去，
∴m=4．

点评 本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，根据m的范围和根与系数的关系判断两根均为正数是解题的关键．