Question

10．如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点F，E，点B的坐标为（1，3）．
（1）k=3；
（2）试说明CD∥BA；
（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由题意表示出P，D，C，A的坐标，求出两对应边之比，再由夹角相等，利用两边对应边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形PDC与三角形PAB相似，进而得出四边形ADCF与四边形DEBC都是平行四边形，利用平行四边形的对边相等即可得证；
（3）由三角形PAB面积的一半等于三角形PCD面积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出P的坐标．

解答 解：（1）把B（1，3）代入反比例解析式得：k=3；
故答案为：3；
（2）反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$，
设A点坐标为（a，$\frac{3}{a}$），
∵PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，
∴D点坐标为（0，$\frac{3}{a}$），P点坐标为（1，$\frac{3}{a}$），C点坐标为（1，0），
∴PB=3-$\frac{3}{a}$，PC=-$\frac{3}{a}$，PA=1-a，PD=1，
∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{-\frac{3}{a}}{3-\frac{3}{a}}$=$\frac{1}{1-a}$，$\frac{PD}{PA}$=$\frac{1}{1-a}$，
∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PD}{PA}$，
∴CD∥BA；
（3）∵四边形ABCD的面积=S_△PCD，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•（3-$\frac{3}{a}$）•（1-a）=•1•（-$\frac{3}{a}$），
整理得a²-2a-3=0，解得a₁=-1，a₂=3（舍去），
∴P点坐标为（1，-3）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，以及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解本题第二问的关键．