Question

15．如图，在平行四边形ABCD中，△BCE、△CDF都是等边三角形，试说明△AEF是等边三角形．

Answer 1

分析 先证明△ABE≌△ADF，再证明△ADF≌△ECF即可解决问题．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，
∵∠ABE=∠ABC+∠CBE，∠ADF=∠ADC+∠CDF，
∵，△BCE、△CDF都是等边三角形，
∴∠CBE=60°=∠CDF，BE=BC=AD，AB=CD=DF，
∴∠ABE=∠ADF
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AD}\\{∠ABE=∠ADF}\\{AB=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF
∴AE=AF
∵∠ECF=360°-∠BCD-∠BCE-∠DCF=360°-（180°-∠ADC）-60°-60°=∠ADC+60°=∠ADF，
在△ADF和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=AD}\\{∠ADF=∠ECF}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF，
∴AF=EF，
∴AE=AF=EF，
∴△AEF是等边三角形．

点评 本题考查平行四边形的性质．等边三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．