题目内容
20．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$，求出△ABC的面积．
分析 应用：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积
解答 应用：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．
（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=3，
∵△AOB与△AOE是友好三角形，
∴S△AOB=S△AOE，
∵△AOE≌△FOB，
∴S△AOE=S△FOB，
∴S△AOD=S△ABF，
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2×$\frac{1}{2}$×4×3=12．
探究：
解：分为两种情况：①如图1，
∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴S△DOC=$\frac{1}{4}$S△ABC=$\frac{1}{2}$S△BDC=$\frac{1}{2}$S△ADC=$\frac{1}{2}$S△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=4，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=8，∠BAC=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=4=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积是$\frac{1}{2}$×BC×AC=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；
②如图2，
∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴S△DOC=$\frac{1}{4}$S△ABC=$\frac{1}{2}$S△BDC=$\frac{1}{2}$S△ADC=$\frac{1}{2}$S△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴A′C=BD=4，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=4，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$A′C=2，
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2×$\frac{1}{2}$×A′D×CQ=2×$\frac{1}{2}$×4×2=8；
即△ABC的面积是8或8$\sqrt{3}$．
点评 此题是几何变换综合题，主要考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．
（1）如图，已知∠B=∠C，AD=AE，求证：BD=CE．
已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为X．