Question

10．已知实数x，y满足$\frac{25}{{x}^{4}}$-$\frac{5}{{x}^{2}}$=3，4y⁴+2y²=3，则$\frac{25}{{x}^{4}}$+4y⁴的值为7．

Answer 1

分析 设a=$\frac{5}{{x}^{2}}$＞0可得a²-a-3=0，解之得出a的值，即可知$\frac{25}{{x}^{4}}$=$\frac{7+\sqrt{13}}{2}$，设b=2y²≥0可得b²+b-3=0，解之得出b的值，即可知4y⁴=$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$，代入待求分式即可得答案．

解答 解：设a=$\frac{5}{{x}^{2}}$＞0，
∴a²-a-3=0，
解得：a=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$或a=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$＜0（舍），
即$\frac{5}{{x}^{2}}$=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，
∴$\frac{25}{{x}^{4}}$=$\frac{7+\sqrt{13}}{2}$，
设b=2y²≥0，
∴b²+b-3=0，
解得：b=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$或b=$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$＜0（舍），
即2y²=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，
∴4y⁴=$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$，
则$\frac{25}{{x}^{4}}$+4y⁴=$\frac{7+\sqrt{13}}{2}$+$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$=7，
故答案为：7．

点评 本题主要考查解方程和分式求值的能力，根据原等式利用换元法求出$\frac{25}{{x}^{4}}$、4y⁴的值是解题的关键．