题目内容

5．如图1和图2，在△ABC中，AB=13，BC=4，AC=15．
【探究】如图1，S△ABC=24．
【拓展】如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足分别为M、N．设BD=x，AM=a，CN=b．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0）
（1）用含x、a或b的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求（a+b）与x的函数关系式，并求（a+b）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
【发现】请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

分析 【探究】设AE=x，则CE=15-x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出BE的长，利用三角形的面积公式可直接求出△ABC的面积；
（1）用a、b及x表示出△ABD及△CBD的面积，根据S△ABC=S△ABD+S△CBD即可得到a+b关于x的反比例函数关系式．
（2）借助（1）的结论，根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB=13，BC=4，所以当BD=BC=4时，x最大．从而根据反比例函数的性质求出y的最大值和最小值；
（3）当x=$\frac{16}{5}$时，BD⊥AC，线段AC上存在唯一的点D；当$\frac{16}{5}$＜x≤4时，此时在线段AC上存在两点D；当4＜x≤13时，此时在线段AC上存在唯一的点D．
【发现】由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线．

解答 解：【探究】如图1，过点B作BE⊥AC，设AE=x，则EC=15-x，
在Rt△ABE中，BE2=AB2-AE2=132-x2，
在Rt△BCE中，BE2=BC2-CE2=42-（15-x）2，
∴132-x2=42-（15-x）2，
∴x=12.6，
∴BE2=132-x2=10.24
∴BE=3.2
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×AC×BE=$\frac{1}{2}$×15×3.2=24，
故答案为24；
【拓展】（1）设AM=a，CN=b，
∵由三角形面积公式，得S△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AM=$\frac{1}{2}$xa，S△CBD=$\frac{1}{2}$BD•CN=$\frac{1}{2}$xb，
（2）由（1）知，a=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$，b=$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$，
∴a+b=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$+$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$=$\frac{2{S}_{△ABC}}{x}$=$\frac{48}{x}$，
∵△ABC中AC边上的高为$\frac{2{S}_{△ABC}}{AC}$=$\frac{48}{15}$=$\frac{16}{5}$，
∴x的取值范围为$\frac{16}{5}$≤x≤13．
∵a+b随x的增大而减小，
∴当x=$\frac{16}{5}$时，（a+b）的最大值为15，当x=13时，（a+b）的最小值为$\frac{48}{13}$．
（3）∵当x=$\frac{16}{5}$时，BD⊥AC，
∴线段AC上存在唯一的点D；
当$\frac{16}{5}$＜x≤4时，此时在线段AC上存在两点D；
当4＜x≤13时，此时在线段AC上存在唯一的点D．
∴x的取值范围为x=$\frac{16}{5}$或4＜x≤13；
【发现】：∵AB=13，BC=4，AC=15．
∴AC＞BC＞AB，
∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC边上的高的长$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．

练习册系列答案
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15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC交BD于点O．若S△AOD=4，S△AOB=6，则△COD的面积是6．
16．如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A点分别作两圆的切线交对方于D、C，连接DB并延长交⊙O于E，已知CO′=5，⊙O′的半径为4，则AE的长为（　　）
A．3B．2$\sqrt{5}$C．$\sqrt{21}$D．9
13．计算：
（1）-63÷7+45÷（-9）
（2）（-8）+10-|-2|+（-1）
（3）（+$\frac{1}{3}$）-（+$\frac{5}{6}$）+（-$\frac{1}{6}$）-（-$\frac{2}{3}$）                 
（4）-22×32-（-4）×2+3
（5）（$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{6}$-$\frac{3}{4}$）×（-24）
（6）（-5）×7$\frac{1}{3}$+7×（-7$\frac{1}{3}$）-12÷（-$\frac{3}{22}$）
20．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
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应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$，求出△ABC的面积．
10．长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．
（1）如果∠DEF=130°，求∠BAF的度数；
（2）判断△ABF和△AGE是否全等吗？请说明理由．
17．如图1，点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC．
（1）设AC=2，
①求AB的长；
填空：设AB=x，则BC=2-x
∵点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BC}{AB}$，可列方程为$\frac{x}{2}$=$\frac{2-x}{x}$，
解得方程的根为x1=-1+$\sqrt{5}$，x2=-1-$\sqrt{5}$，于是，AB的长为-1+$\sqrt{5}$．
②在线段AC（如图1）上利用三角板和圆规画出点B的位置（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若m、n为正实数，t是关于x的方程x2+2mx=n2的一正实数根，
①求证：（t+m）2=m2+n2；
②若两条线段的长分别为m、n（如图2），请画出一条长为t的线段（保留作图痕迹，不写作法）．
14．例：如图①，平面直角坐标系xOy中有点B（2，3）和C（5，4），求△OBC的面积．解：过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．依题意，可得
S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD-S△OCE =$\frac{1}{2}$（BD+CE）（OE-OD）+$\frac{1}{2}$OD•BD-$\frac{1}{2}$OE•CE=$\frac{1}{2}$×（3+4）×（5-2）+$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×5×4=3.5．
∴△OBC的面积为3.5．
（1）如图②，若B（3，y）、C（x，5）均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直线上．仿照例题的解法，求△OBC的面积（用含x、y、的代数式表示）；
（2）如图③，若三个点的坐标分别为A（2，5），B（7，7），C（9，1），求四边形OABC的面积．
（3）若三个点的坐标分别A（2，2）、B（4，0）、C（-2，a），△ABC的面积为12．求a的值，
15．若|a|=7，|b|=3，
（1）若ab＞0，求a+b的值．
（2）若|a+b|=a+b，求a-b的值．

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