Question

3．在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上，记它们的面积分别为S_矩形ABCD和S_菱形BEDF，若S_矩形ABCD：S_菱形BFDE=$（2+\sqrt{3}）$：2，则下列四个结论：①AB：BE=$（2+\sqrt{3}）$：2；②AE：BE=$\sqrt{3}$：2；③tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；④∠FBC=60°．正确的共有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 由矩形和菱形的面积关系得出AB：BE=$（2+\sqrt{3}）$：2，①正确；AE：BE=$\sqrt{3}$：2，②正确；由菱形的性质得出DE∥BF，DE=BE，得出∠BFC=∠EDF，由三角函数求出∠ADE=60°，得出∠ADC=∠C=90°，求出∠EDF=30°，tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，③正确；∠BFC=30°，得出∠FBC=60°，④正确；即可得出结论．

解答 解：如图所示：
∵S_矩形ABCD：S_菱形BFDE=$\frac{AB•BC}{BE•BC}$=$（2+\sqrt{3}）$：2，
∴AB：BE=$（2+\sqrt{3}）$：2，①正确；
∴AE：BE=$\sqrt{3}$：2，②正确；
∵四边形BFDE是菱形，
∴DE∥BF，DE=BE，
∴∠BFC=∠EDF，
∴sin∠ADE=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADC=∠C=90°，
∴∠EDF=90°-60°=30°，
∴tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，③正确；∠BFC=30°，
∴∠FBC=90°-30°=60°，④正确；
正确的共有4个；
故选：A．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形和菱形的性质，由矩形和菱形的性质得出AB：BE=$（2+\sqrt{3}）$：2是解决问题的关键．