如图.已知△ABC中.AB=AC=12cm.BC=9cm.点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动.同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点P的运动速度与点Q的运动速度相等.1秒钟时.△BPD与△CQP是否全等.请说明理由?②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等.当点Q的运动速度为多少时.能够使△BPD与△CQP全等?②中的运动速度从� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点P的运动速度与点Q的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由？
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，直接写出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．

分析（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；
②因为V_P≠V_Q，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）因为V_Q＞V_P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．

解答解：（1）①1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等；理由如下：
∵t=1秒，
∴BP=CQ=3（cm）
∵AB=12cm，D为AB中点，
∴BD=6cm，
又∵PC=BC-BP=9-3=6（cm），
∴PC=BD
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD与△CQP中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\\{BD=PC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵V_P≠V_Q，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6．
∴点P的运动时间t=$\frac{BP}{3}$=$\frac{4.5}{3}$=1.5（秒），
此时V_Q=$\frac{CQ}{t}$=$\frac{6}{1.5}$=4（cm/s）．
（2）因为V_Q＞V_P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，
设经过x秒后P与Q第一次相遇，
依题意得：4x=3x+2×12，
解得：x=24（秒）
此时P运动了24×3=72（cm）
又∵△ABC的周长为33cm，72=33×2+6，
∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．