Question

5．如图，已知抛物线l₁经过原点与A点，其顶点是P（-2，3），平行于y轴的直线m与x轴交于点B（b，0），与抛物线l₁交于点M．
（1）点A的坐标是（-4，0）；抛物线l₁的解析式是y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3；
（2）当BM=3时，求b的值；
（3）把抛物线l₁绕点（0，1）旋转180°，得到抛物线l₂．
①直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围-2＜x＜2；
②直线m与抛物线l₂交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值与此时b的值．

Answer 1

分析 （1）根据O和A是对称点即可求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）BM=3则M的纵坐标是3或-3，代入抛物线解析式求得M的横坐标，即B的横坐标；
（3）M和N的横坐标相等，则设横坐标是b，则利用b可以表示出M和N的纵坐标，即可表示出MN的长，则根据二次函数的性质即可求解．

解答 解：（1）∵顶点P的坐标是（-2，3），即对称轴是x=-2，
∴A的坐标是（-4，0）．
设抛物线的解析式是y=a（x+2）2+3，
把（0，0）代入得4a+3=0，
解得a=-$\frac{3}{4}$，
则抛物线的解析式是y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3．
故答案是：（-4，0），y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3．
（2）在y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3中，令y=-3，则-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3=-3，
解得：x=-2$\sqrt{2}$-2或2$\sqrt{2}$-2．
当在y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3中，令y=3时，则-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3=3，
解得x=-2，即b=-2．
则b=-2或2$\sqrt{2}$-2或-2$\sqrt{2}$-2；
（3）P（-2，3）关于（0，1）的对称点是（2，-1），
则抛物线L₂的解析式是y=$\frac{3}{4}$（x-2）²-1，
①当-2＜x＜2时，两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小．
答案是：-2＜x＜2；
②设M的坐标是（b，-$\frac{3}{4}（b+2）^{2}+3$），则N的坐标是（b，$\frac{3}{4}$（b-2）²-1），
则MN=$\frac{3}{4}$（b-2）²-1）-[-$\frac{3}{4}（b+2）^{2}+3$]=$\frac{3}{2}$b²+2．
则当b=0时，MN最小，是2．

点评 本题是二次函数与点的对称的综合应用，关键是求得两条抛物线的解析式．