题目内容
12．如图①，在四边形AOBC中，AC∥OB，若动点P从点O处以每秒1个单位长度的速度向B点平移，过点P作垂直于OB的直线，设直线扫过的阴影部分的面积为S，运动时间为x（t），已知S与x的函数关系可用如图②的函数图象表示．（1）求出图②中a、b的值；
（2）连接AP，在运动过程中是否存在某个时间x使得△OAP为等腰三角形？如果存在，求出此时x的值；如果不存在，请说明理由．
分析 （1）如图①中，作AE⊥OB 于E，CF⊥OB于F，则四边形AECF是矩形，由图②求出OE、EF、FB、AE即可解决问题．
（2）如图②中，分两种情形①OP1=P1A时，设OP1=AP1=x，在RT△AP1E中，利用勾股定理即可解决，②当OA=AP2时，根据等腰三角形性质即可解决问题．
解答 
解：（1）如图①中，作AE⊥OB 于E，CF⊥OB于F，则四边形AECF是矩形，
由图象②可知：OE=2，AE=CF=1，EF=AC=4，FB=1，
∴a=S△AOE+S矩形AECF=1+4=5，
b=OB=2+4+1=7．
（2）如图②中，
①OP1=P1A时，设OP1=AP1=x，在RT△AP1E中，∵∠AEP1=90°，AE=1，AP1=x，P1E=2-x，
∴x2=12+（2-x）2，
∴x=$\frac{5}{4}$，
∴t=$\frac{5}{4}$．
②当OA=AP2时，OE=EP2=2，
∴OP2=4，
∴t=4．
综上所述t=$\frac{5}{4}$或4时△OAP是等腰三角形．
点评 本题考查动点问题函数图象、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确认识图形读懂图象信息，学会分类讨论的数学思想，属于中考常考题型．
练习册系列答案
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