Question

如图，等边三角形ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边三角形CDE，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若BC=8时，求点C到直线BE的距离．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）易证AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，可得∠ACD=∠BCE，即可证明△ACD≌△BCE；
（2）易证BO=CO，CO⊥AD，即可求得CO=4，可得点C到AD距离为4，根据△ACD≌△BCE，即可解题．

解答：（1）证明：∵△ABC、△DCE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD+∠BCD=60°，∠BCD+∠BCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE，（SAS）；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，AO是∠BAC的角平分线，
∴BO=CO，CO⊥AD，
∵BC=8，
∴CO=4，
∴点C到AD距离为4，
∵△ACD≌△BCE，
∴点C到直线BE的距离为4．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考察了等边三角形的性质，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．