Question

如图，在Rt△ABC内有矩形PQMN，P、N分别在直角边AB、AC上，Q、M在斜边BC上，已知AB=4，AC=3，内接矩形PQMN的周长等于

47

6

，则其面积等于

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：求出BC、AD的长度；证明△APN∽△ABC，列出比例式求出PN与PQ之间的数量关系；借助周长求出PN、PQ的长度，即可解决问题．

解答：解：如图，由勾股定理得：BC²=AB²+AC²，
∵AB=4，AC=3，
∴BC=5；
由面积公式得：AB•AC=BC•AD，
∴AD=

12

5

=2.4．
∵四边形PQMN是矩形，AD⊥BC，
∴PQ=ED（设为λ），AE=AD-λ，PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴

PN

BC

=

AE

AD

，即

PN

5

=

2.4-λ

2.4

，
∴PN=5-

25

12

λ；
∵矩形PQMN的周长等于

47

6

，
∴2λ+2（5-

25

12

λ）=

47

6

，
解得：λ=1，
∴矩形PQMN的面积=1×（5-

25

12

）=

35

12

．
故答案为：

35

12

．

点评：该题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定及其性质定理的应用问题；牢固掌握定理是灵活解决问题的基础和关键．