Question

10．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，D为圆上一点，连CD，且DC²=CB•CA
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）AE⊥CD交CD的延长线于点E，若tanA=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，AE=6，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD、DA、DB，由DC²=CB•CA，易证得△DCB∽△ACD，又由AB是⊙O的直径，继而可求得∠BDC+∠ODB=90°，则可证得结论；
（2）由tanA=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，AE=6，可求得CE的长，继而求得AC的长，然后由OD∥AE，可得$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OC}{AC}$，则可求得答案．

解答 证明：（1）连接OD、DA、DB，
∵DC²=CB•CA，
∴$\frac{DC}{CA}$=$\frac{CB}{CD}$，
又∵∠DCB=∠ACD，
∴△DCB∽△ACD，
∴∠BDC=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠BDC+∠ODB=90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；

（2）在Rt△ACE中，tanA=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CE}{6}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴CE=2$\sqrt{7}$，
在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{7}）^{2}}$=8，
∵OD∥AE，
∴$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OC}{AC}$，
∴$\frac{r}{6}$=$\frac{8-r}{8}$，
解得：r=$\frac{24}{7}$，
∴⊙O的直径为$\frac{48}{7}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．