Question

13．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=8，BC=12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA=∠PBC，则线段AP长的最小值为4．

Answer 1

分析 利用∠PCA=∠PBC得∠PBC+∠PCB=90°，则∠BPC=90°，根据圆周角定理的推论可判定点P在以BC为直角的⊙O上，连接OA交⊙O于P，此时PA的长最小，然后利用勾股定理计算出OA即可得到PA长的最小值．

解答 解：∵∠PCA=∠PBC，
而∠PCA+∠PCB=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠BPC=90°，
∴点P在以BC为直角的⊙O上，
连接OA交⊙O于P，此时PA的长最小，
∵OA=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴PA长的最小值为10-6=4．
故答案为4．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：解决本题的关键是确定点P在以BC为直角的⊙O上，从而利用两点之间线段最短解决问题．