Question

18．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．王宏按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+400．
（1）王宏在开始创业的第一个月将销售单价定为18元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设王宏获得的利润为W（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）若物价部门规定，这种节能灯销售单价不得高于24元．如果王宏想要每月获得的利润不低于2000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

Answer 1

分析 （1）求出销售量，根据政府每件补贴2元，即可解决问题．
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
（3）根据条件确定出自变量的取值范围，求出y的最小值即可解决问题．

解答 解：（1）当x=18时，y=-10x+400=-10×18+400=220，
220×（12-10）=220×2=440元．
即政府这个月为他承担的总差价为440元．

（2）依题意得，w=（x-10）（-10x+400）
=-10x²+500x-4000
=-10（x-25）²+2250
∵a=-10＜0，
∴当x=25时，w有最大值2250元．
即当销售单价定为25元时，每月可获得最大利润2250元．

（3）由题意得：-10x²+500x-4000=2000，
解得：x₁=20，x₂=30．
∵a=-10＜0，抛物线开口向下，
当20≤x≤30时，2250≥w≥2000．
又∵x≤24，
∴当20≤x≤24时，w≥2000．
∴当x=24时，政府每个月为他承担的总差价最小，y=-24×10+400=160，
160×2=320，
∴政府每个月为他承担的总差价最小值320元．
即销售单价定为24元时，政府每个月为他承担的总差价最少为320元．

点评 本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、利润、销售量、单价之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用一次函数的增减性，解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．