Question

4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，点C为⊙O上一点，0D⊥BC于点F交⊙O于点E，连接AE、C′E．
（I）求证：∠ODB=∠AEC；
（2）若⊙O的半径为4，sinA=$\frac{3}{4}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠ABD=90°，根据余角的性质得到∠ODB=∠OBF，等量代换即可得到结；
（2）连接BE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=90°，等量代换得到∠EBF=∠A，根据三角函数的定义得到BE=6，于是得到结论．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，
∴∠ABD=90°，
∵0D⊥BC，
∴∠OFB=90°，
∴∠OBF+∠BOF=∠BOF+∠D=90°，
∴∠ODB=∠OBF，
∵∠OBF=∠AEC，
∴∠ODB=∠AEC；

（2）连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，
∵OB=OE，
∴∠ABE=∠OEB，
∵∠FBE+∠BEF=90°，
∴∠EBF=∠A，
∵⊙O的半径为4，
∴AB=8，
∵sinA=$\frac{3}{4}$，
∴BE=6，
∵sin∠EBF=sinA=$\frac{3}{4}$，
∴EF=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，三角函数的定义，圆周角定理，连接BE构造直角三角形是解题的关键．