Question

14．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角边OA、OB分别在x轴、y轴正半轴上，OA=1，∠OBA=30°，将△AOB绕点A顺时针旋转，使AB的对应边AD恰好落在x轴上，点O的对应点C落在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，则k的值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 作CH⊥x轴于H，如图，先计算出∠BAO=60°，再根据旋转的性质得到∠DAC=∠BAO=60°，AC=AO=1，在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，CH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是得到C点坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可计算出k的值．

解答 解：作CH⊥x轴于H，如图，
在Rt△OAB中，∵∠OBA=30°，
∴∠BAO=60°，
∵△AOB绕点A顺时针旋转，使AB的对应边AD恰好落在x轴上，
∴∠DAC=∠BAO=60°，AC=AO=1，
在Rt△ACH中，∵∠ACH=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，CH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵点O的对应点C落在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了旋转的性质．