Question

12．如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC、CF、AC．
（1）求证：BC=CF．
（2）若CD=2$\sqrt{3}$，AF=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质首先得出CO⊥ED，再利用平行线的判定得出CO∥AD，进而利用圆周角、圆心角定理得出BC=CF；
（2）首先求出△CDF∽△ADC，进而得出DF的长，即可求出r的长．

解答 （1）证明：如图，连接OC，
∵ED切⊙O于点C，
∴CO⊥ED，
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠CAD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$，
∴BC=CF；

（2）解：如图，连接FO，
∵直线DC是⊙O的切线，C是切点，
∴∠FCD=∠CAF，
∵∠D=∠D，
∴△CDF∽△ADC，
∴$\frac{DC}{DF}$=$\frac{AD}{DC}$，
∴12=DF（DF+4），
解得：DF=2（负数舍去），
∴tan∠FCD=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠FCD=30°，FC=4，
∴∠OCF=60°，
，又∵CO=FO，
∴△OCF是等边三角形，
∴⊙O的半径为4．

点评 此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质等知识，得出$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$是解题关键．