Question

20．如图所示，已知AB是⊙O的直径，弦AD是∠BAC的平分线，过点D作⊙O的切线l，且AC⊥DE，垂足为点E．
（1）求证：AD²=AB•AE；
（2）如果DE=$\sqrt{3}$，CE=1，请判别四边形ACDO的形状，并证明你的结论成立．

Answer 1

分析 （1）连接BD，证得△ABD∽△ADE，根据相似三角形的性质即可证得结论；
（2）证得△ADE∽△DEC，根据相似三角形的性质得AC=2，根据勾股定理得出DC=2，然后证得△OAD≌△CAD，根据全等三角形的性质证得OA=AC=2=OD=DC，即可证得四边形ACDO是菱形．

解答 （1）证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AC⊥DE，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∵∠BAD=∠EAD，
∴△ABD∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴AD²=AB•AE；
（2）解：四边形ACDO是菱形，
∵DE=$\sqrt{3}$，CE=1，
∴DC=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2，
∵直线l是⊙O的切线，切点是D，
∴∠CDE=∠DAC，
∵∠AED=∠DEC，
∴△ADE∽△DEC，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{AE}{DE}$，即$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\frac{AE}{\sqrt{3}}$，
∴AE=3，
∴AC=AE-CE=3-1=2，
∴AC=CD=2，
∴∠DAC=∠ADC，
∵∠BAD=∠DAC，∠BAD=∠ODA，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAC=∠ADC，
在△OAD和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠CAD}\\{AD=AD}\\{∠ODA=∠CDA}\end{array}\right.$
∴△OAD≌△CAD（ASA），
∴OA=AC=2=OD=DC，
∴四边形ACDO是菱形．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．