Question

11．如图：抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点C关于对称轴的对称点为点D，直线L与抛物线交于点A，D两点．
（1）求A，D两点的坐标．
（2）P是线段AD上一个动点，过P做y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度最大值．
（3）点M是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点N，使以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．直接写出所有满足条件的N点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）如图4中有四种情形，分别根据平行四边形的性质或利用一次函数的性质解决．

解答 解：（1）当y=0时，x²-2x-3=0，解得x=-1，x=3（不符合题意，舍），即A（-1，0），
当x=0时，y=-3，即C点坐标为（0，-3）．
y=x²-2x-3的对称轴为x=1，
由点C关于对称轴的对称点为点D，得D（2，-3）；
（2）设直线AD的解析式为y=kx+b，将A、D坐标代入函数解析式，得
y=-x-1．
由P在AD上，E在抛物线上，
设P点坐标为（x，-x-1），E（x，x²-2x-3），
线段PE：y=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当x=$\frac{1}{2}$，线段PE最大=$\frac{9}{4}$；
（3）如图4中，
，
①当M₁N₁∥AD，AN₁∥DM₁时，AN₁=DM₁=2，此时N₁坐标（-3，0），
②当AD为对角线时，∵AN₂=DM₂=2，
∴点N₂坐标为（1，0），
③当AD∥N₃M₃，AD=M₃N₃时，此时点M₃的纵坐标为6，当AD∥M₄N₄，AD=M₄N₄时，此时点M₄的纵坐标为6，
，令y=6，则2x²-4x-6=6，解得x=1±$\sqrt{7}$，
∴M₃（1+$\sqrt{7}$，6），M₄（1-$\sqrt{7}$，0），
直线M₃N₃为：y=-2x+8+2$\sqrt{7}$，直线M₄N₄为：y=-2x+8-2$\sqrt{7}$，
∴N₃（4+$\sqrt{7}$，0），N₄（4-$\sqrt{7}$，0），
综上所述点N坐标为N₁（1，0），N₂（-3，0），N₃（$4+\sqrt{7}$，0），N₄（$4-\sqrt{7}$，0）．

点评 本题考查二次函数的有关知识，学会待定系数法确定函数解析式，解题的关键是会分类讨论，检验是否符合题意，第三个问题需要画出图形，利用平行四边形的性质会一次函数确定点N的坐标，属于中考压轴题．