Question

8．如图，抛物线y=ax²-2ax-4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，且OA=OB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M为AB的中点，且∠PMQ=45°，∠PMQ在AB的同侧，以点M为旋转中心将∠PMQ旋转，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD=m（m＞0），BC=n，求n与m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当∠PMQ的一边恰好经过该抛物线与x轴的另一个交点时，直接写出∠PMQ的另一边与x轴的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的解析式可得到点B的坐标，根据条件可求出点A的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题；
（2）易得△AOB是等腰直角三角形，从而可得∠OAB=∠OBA=45°，AB=4$\sqrt{2}$，即可得到AM=BM=2$\sqrt{2}$，结合条件∠CMD=45°可推出△ADM∽△BMC，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）设抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-x-4与x轴另一个交点为E，只需令y=0，即可得到点E的坐标，根据中点坐标公式可求出点M的坐标．①当MP经过点E时，运用待定系数法可求出直线PM的解析式，即可得到点C的坐标，从而可求出n的值，再利用n与m的关系可求出m，就可求出点D的坐标；②当MQ经过点（-2，0）时，同理可求出MP与x轴交点．

解答 解：（1）由抛物线y=ax²-2ax-4，
得B（0，-4），OB=4．
∵OA=OB=4，且点A在x轴正半轴上，
∴A（4，0）．
将A（4，0）代入y=ax²-2ax-4，得
16a-8a-4=0，
解得a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-4；

（2）∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=4$\sqrt{2}$，
∴∠ADM+∠AMD=135°，AM=BM=2$\sqrt{2}$．
∵∠CMD=45°，
∴∠AMD+∠BMC=135°，
∴∠ADM=∠BMC，
∴△ADM∽△BMC，
∴$\frac{BC}{AM}$=$\frac{BM}{AD}$．
∵AD=m，BC=n，
∴$\frac{n}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{m}$，
∴n=$\frac{8}{m}$，
∴n与m之间的函数关系式为n=$\frac{8}{m}$；

（3）设抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-x-4与x轴另一个交点为E，
令y=0，得$\frac{1}{2}$x²-x-4=0，
解得x₁=4，x₂=-2，
∴点E的坐标为（-2，0）．
∵A（4，0），B（0，-4），M为AB的中点，
∴M的坐标为（2，-2）．
①当MP经过点（-2，0）时，
设直线PM的解析式为y=mx+n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{2m+n=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴直线PM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1．
当x=0时，y=-1，
∴点C的坐标为（0，-1），
∴n=BC=-1-（-4）=3，
∴m=$\frac{8}{3}$，即AD=$\frac{8}{3}$，
∴OD=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴MQ与x轴交点为（$\frac{4}{3}$，0）；
②当MQ经过点（-2，0）时，
同理可得：MP与x轴交点为（8，0）．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求直线与抛物线的解析式、直线与抛物线上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、中点坐标公式等知识，证到△ADM∽△BMC是解决第（2）小题的关键，运用（2）中的结论是解决第（3）小题的关键．