Question

12．已知二次函数y=2x²+bx-1．
（1）求证：无论b取什么值，二次函数y=2x²+bx-1图象与x轴必有两个交点．
（2）若两点P（-3，m）和Q（1，m）在该函数图象上．
①求b、m的值；
②将二次函数图象向上平移多少单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点？

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值，再利用非负数的性质可判断△=＞0，然后根据判别式的意义可判断抛物线与x轴必有两个交点；
（2）①先利用抛物线的对称性可确定抛物线的对称轴方程，从而可求出b的值，然后计算自变量为1所对应的函数值即可得到m的值；
②设平移后抛物线的关系式为y=2x²+4x-1+k，根据判别式的意义△=0得到关于k的方程，然后解方程求出k的值即可判断抛物线平移的距离．

解答 （1）证明：∵△=b²-4×2×（-1）=b²+8＞0，
∴无论b取何值时，二次函数y=2x²+b x-1图象与x轴必有两个交点；
（2）解：①∵点P、Q是二次函数y=2x²+bx-1图象上的两点，且两点纵坐标都为m
∴点P、Q关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴是直线x=-1，
∴-$\frac{b}{2×2}$=-1，解得b=4，
∴抛物线解析式为y=2x²+4x-1，
当x=1时，m=2×1²+4×1-1=5；
②设平移后抛物线的关系式为y=2x²+4x-1+k，
∵平移后的图象与x轴仅有一个交点，
∴△=16+8-8 k=0，解得k=3，
即将二次函数图象向上平移3个单位时，函数图象与x轴仅有一个公共点．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．