Question

9．如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．
（1）求证：PE=PD；
（2）求证：∠PDC=∠PEB；
（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，由SAS证明△CDP≌△CBP，得出PB=PD，再由PE=PB，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB，由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC，即可得出∠PDC=∠PEB；
（3）由四边形内角和定理得出∠DPE=100°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，
在△DCP和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}&{\;}\\{∠DCP=∠BCP}&{\;}\\{PC=PC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△CBP（SAS），
∴PB=PD，
∵PE=PB，∴PE=PD；
（2）证明：∵PE=PB，
∴∠PBC=∠PEB，
∵△CDP≌△CBP，
∴∠PDC=∠PBC，
∴∠PDC=∠PEB；
（3）解：如图所示：
∠PDE=40°；理由如下：
在四边形DPEC中，
∵∠DPE=360°-（∠PDC+∠PEC+∠DCB）
=360°-（∠PEB+∠PEC+∠DCB）
=360°-（180°+80°）
=100°，
∵PE=PD
∴∠PDE=∠PED=40°．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．