Question

15．已知：抛物线y=ax²+2x+c，对称轴为直线x=-1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A（-3，0）、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出直线AC的解析式；
（3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴为直线x=-1，可求出a的值，再将点A代入抛物线解析式中求出c值，由此即可得出抛物线解析式；
（2）根据抛物线的解析式找出点C的坐标，结合点A的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（3）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N，设出点D的坐标，找出点M、N的坐标，根据三角形的面积公式即可找出四边形ABCD面积关于m的关系式，再根据二次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）∵对称轴x=-$\frac{2}{2a}$=-1，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=x²+2x+c，
将点A（-3，0）代入y=x²+2x+c中，得：
0=9-6+c，解得：c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3．
（2）当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3=b}\\{0=-3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
直线AC的解析式为y=-x-3．
（3）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N，如图所示．
设D（m，m²+2m-3），则M（m，-m-3），
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AB•OC+$\frac{1}{2}$•DM•（AN+BN）=6+$\frac{3}{2}$[（-m-3）-（m²+2m-3）]=-$\frac{3}{2}$m²-$\frac{9}{2}$m+6=-$\frac{3}{2}（x+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{75}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，四边形ABCD面积有最大值$\frac{75}{8}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）找出四边形ABCD面积关于m的关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据待定系数法求出函数解析式是关键．