Question

5．小明所在的数学兴趣小组研究一个课题“如何根据条件唯一的作出一个三角形”？研究后他们发现这与“如何作一个三角形与已知三角形全等”是一样的，如果提供的条件可以证明两个三角形全等，那么这些条件下作出的三角形肯定是唯一的．
（1）如果下列条件肯定可以作三角形，那么其中不唯一的是D．
A：已知两条边和夹角  B：已知三边  C：已知两角和夹边 D：已知两条边和一边的对角
（2）如果线段AB=4厘米，AC=5厘米，AD=3厘米，以AB、AC作为△ABC两边，AD为BC边上的高，请你设计一个方案作出满足如上条件的△ABC，并简要说明理由；
（3）如果将（2）中AD改为BC边上的角平分线，请你同样设计一个方案作出满足条件的△ABC，并简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定即可判断；
（2）先作以AC为斜边，AD为一直角边的直角三角形，再以A点为圆心，AB长为半径画弧，交直线CD于点B，此时点B有两个，即满足条件的三角形有两个；
（3）作线段AE=5.4cm，以AE为底作等腰△ABE，使AB=BE=4cm，过点A作AF∥BE，在AF上截取AC=5cm，连接BC交AE于点D，根据等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质即可说明理由．

解答 解：（1）A、满足SAS可以证出两三角形全等；
B、满足SSS可以证出两三角形全等；
C、满足ASA可以证出两三角形全等；
D、根据SSA不能证出两三角形全等．
故选D．

（2）满足条件的三角形有两个，
方案：如图1，先作以AC为斜边，AD为一直角边的直角三角形，再以A点为圆心，AB长为半径画弧，交直线CD于点B（点B有两个）
，
根据作图步骤显然AD=3、AC=5，AB=CD=4，且AD为BC边上的高，故△ABC和△AB′C是符合要求的．

（3）方案：如图2，作线段AE=5.4cm，以AE为底作等腰△ABE，使AB=BE=4cm，过点A作AF∥BE，在AF上截取AC=5cm，连接BC交AE于点D，
则△ABC即为所求作三角形，

理由：∵AB=BE=4，
∴∠BAD=∠BEA，
∵AF∥BE，
∴∠BED=∠CAD，
∴∠CAD=∠BAD，
又∵∠BDE=∠CDA，
∴△BDE∽△CDA，
∴$\frac{BE}{CA}=\frac{DE}{DA}$，
设AD=x，则DE=5.4-x，
∴$\frac{4}{5}=\frac{5.4-x}{x}$，
解得：x=3，
故△ABC为所求作三角形．

点评 本题主要考查全等三角形的判定、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．