Question

14．如图①，正方形ABCD，EFGH的中心P，Q都在直线l上，EF⊥l，AC=EH．正方形ABCD以1cm/s的速度沿直线l向正方形EFGH移动，当点C与HG的中点I重合时停止移动．设移动时间为x s时，这两个正方形的重叠部分面积为y cm²，y与x的函数图象如图②．根据图象解答下列问题：
（1）AC=4cm；
（2）求a的值，并说明点M所表示的实际意义；
（3）当x取何值时，重叠部分的面积为1cm²？

Answer 1

分析 （1）由这两个正方形的重叠部分面积为8时，也就是小正方形的面积为8，求出边长即可得出AC的长；
（2）根据第4秒时两点重合，代入求得a的值，当x=4s时，重叠部分面积最大，最大面积为8cm²；
（3）依题意，求出每段的函数解析式，把y=1代入函数关系式为相关的函数的解析式，求出时间即可．

解答 解：（1）当这两个正方形的重叠部分面积为8时，也就是小正方形的面积为8，得出小正方形的边长为2$\sqrt{2}$cm，
所以AC=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4cm．
故答案为：4．

（2）当x=4时，点A与点I重合，y=$\frac{1}{2}A{C^2}$=$\frac{1}{2}×{4^2}$=8，
∴a的值为8．
点M所表示的实际意义为：
当x=4s时，重叠部分面积最大，最大面积为8cm²；

（3）由题意，可知：
当0≤x≤2时，y=x²，此时y的取值范围是0≤y≤4；
当2≤x≤6时，y=-（x-4）²+8，此时y的取值范围是4≤y≤8；
当6≤x≤8时，y=（8-x）²，此时y的取值范围是0≤y≤4．
当y=1时，得x²=1，解得x=1（负值舍去），
或（8-x）²=1，解得x=7或x=9（不合题意，舍去），
∴当x的值为1或7时，重叠部分的面积为1．

点评 本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是通过图形获取信息，要理清图象的含义即会识图．