Question

19．直线y=-x+4与双曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0）交于A、B两点，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）相交于C点，且y轴平分线段BC．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求k的值．

Answer 1

分析 （1）联立方程，解方程即可求得；
（2）作BD⊥y轴于D，CE⊥y轴于E，得出CE∥DB，根据平行线分相等成比例定理求得CE=DB=1，从而求得C的横坐标为-1，代入直线y=-x+4求得纵坐标，然后代入y=$\frac{k}{x}$即可求得．

解答 解：（1）∵直线y=-x+4与双曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0）交于A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴B（1，3），A（3，1）；
（2）作BD⊥y轴于D，CE⊥y轴于E，
∴CE∥DB，
∴$\frac{CE}{DB}$=$\frac{CP}{PB}$，
∵CP=PB，
∴CE=DB，
∴C的横坐标为-1，
代入y=-x+4得y=5，
∴C（-1，5），
∴k=-1×5=-5．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求得交点的坐标是解题的关键．