Question

15．如图，在菱形ABCD中，点F是对角线BD上一点，连站AF交BC于点B，连接CF．∠AEB与∠DCF在数量上有什么关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 先利用菱形的性质得BD平分∠ADC，DA=DC，AD∥BC，则∠ADF=∠CDF，再证明△ADF≌△CDF得到∠DAF=∠DCF，加上由AD∥BC得到∠DAE=∠AEB，所以∠AEB=∠DCF．

解答 解：∠AEB=∠DCF．理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ADC，DA=DC，AD∥BC，
∴∠ADF=∠CDF，
在△ADF和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠ADF=∠CDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠DAF=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠DCF．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．解决本题的关键是证明∠DAF=∠DCF．