Question

7．已知如图，在平行四边形ABCD中，DE=BF，求证：$\frac{CD}{CQ}$=$\frac{PD}{PQ}$．

Answer 1

分析 由于要求证的四条线段，不是两个三角形中的线段，不能直接通过相似三角形求证．所以考虑过B作BG∥ED，添加辅助线．由于BG∥ED，所以$\frac{CD}{CQ}=\frac{BF}{BQ}，\frac{PD}{BG}=\frac{PQ}{BQ}$．这样通过桥梁$\frac{BF}{BQ}$把要求证的两个比连接了起来．

解答 解：过B作BG∥ED，交CD于G，
∵BG∥ED，AB∥DC，
∴BEDG是平行四边形，
∴BG=DE，
∵AD∥BC，
∴$\frac{CD}{CQ}$=$\frac{BF}{BQ}$，
∵BG∥ED，
∴$\frac{PD}{BG}=\frac{PQ}{BQ}$
即$\frac{PD}{PQ}$=$\frac{BG}{BQ}$，
∵DE=BF，
∴BG=BF，
∴$\frac{CD}{CQ}$=$\frac{PD}{PQ}$．

点评 本题主要考察了平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质及平行四边形的性质与判定．通过平行四边形的性质以及已知的相等线段，找到与求证中的两个比都相等的比，是解决本题的关键．