Question

9．如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F．求证：BE=CF．

Answer 1

分析 过点B作BN∥AC交EM的延长线于N，根据两直线平行，内错角相等可得∠MBN=∠C，∠N=∠MFC，根据线段中点的定义可得BM=CM，然后利用“角角边”证明△BMN和△CMF全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=CF，根据角平分线的定义求出∠BAD=∠CAD，然后根据平行线的性质求出∠E=∠BAD，∠N=∠CFM=∠CAD，从而得到∠E=∠N，再根据等角对等边可得BE=BN，最后等量代换即可得证．

解答 证明：如图，过点B作BN∥AC交EM的延长线于N，
所以，∠MBN=∠C，∠N=∠MFC，
∵M为BC的中点，
∴BM=CM，
在△BMN和△CMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MBN=∠C}\\{∠N=∠MFC}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△CMF（AAS），
∴BN=CF，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵ME∥AD，
∴∠E=∠BAD，∠CFM=∠CAD，
∵BN∥AC，
∴∠N=∠CFM，
∴∠N=∠CFM=∠CAD，
∴∠E=∠N，
∴BE=BN，
∴BE=CF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形并找出一条与BE、CF都相等的线段作为过渡桥梁．