Question

14．已知：如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，在CD的延长线上任取一点F，连AF交圆于E，连接DE，CE．求证：
（1）AC=AD；      
（2）∠AEC=∠DEF．

Answer 1

分析 （1）连接AC与AD，利用垂径定理及圆的性质只需证明AC=AD即可（2）由（1）可知∠AEC=∠ACD、∠ADC=∠ACD，根据圆内接四边形的性质可知∠DEF=∠ACD
再根据等量代换即可得到证明．

解答 证明：（1）连接AC，

∵线段AB与线段CD分别是⊙O的直径和弦，且AB⊥CD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠AEC=∠ACD，
∵$\widehat{AC}=\widehat{AC}$
∴∠ADC=∠AEC（同弧所对的圆周角相等）
∴∠ADC=∠ACD
∴AC=AD（等角对等边）
（2）∵四边形ACDE内接于⊙O，
∴∠DEF=∠ACD（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角）
又由（1）可知∠ADC=∠ACD
∴∠ADC=∠DEF  
又∵∠ADC=∠AEC（同弧所对的圆周角相等）
∴∠AEC=∠DEF

点评 本题考查了垂径定理、圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握垂径定理、圆内接四边形的性质意义．